Multiples de 7 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $n+5$ soit un multiple de $7$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{Z}$ .

• Si $n+5$ est un multiple de $7$ , alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n+5=7k$ et donc $n=7k-5$ .
• Réciproquement, si $n=7k-5$ avec $k\in \mathbb{Z}$ , alors $n+5=7k-5+5=7k$ donc $n+5$ est un multiple de $7$ .

Par conséquent, les entiers relatifs $n$ tels que $n+5$ soit un multiple de  $7$ sont les entiers de la forme $n=7k-5$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Pour déterminer les entiers   naturels $n$ tels que $n+5$ soit un multiple de $7$ , on résout alors dans  $\mathbb{Z}$ l'équation  $7k-5⩾0$  :
$\begin{array}{rl}7k-5⩾0& ⟺7k⩾5⟺k⩾\frac{5}{7}\approx 0,7⟺k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$
car  $k$  est un entier. On en déduit que les entiers naturels  $n$ tels que $n+5$ soit un multiple de  $7$ sont les entiers de la forme $n=7k-5$ avec $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .