Multiples de 7 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \(n+5\) soit un multiple de \(7\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) .

• Si \(n+5\) est un multiple de \(7\) , alors il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n+5=7k\) et donc \(n=7k-5\) .
• Réciproquement, si \(n=7k-5\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , alors \(n+5=7k-5+5=7k\) donc \(n+5\) est un multiple de \(7\) .

Par conséquent, les entiers relatifs \(n\) tels que \(n+5\) soit un multiple de  \(7\) sont les entiers de la forme \(n=7k-5\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Pour déterminer les entiers   naturels \(n\) tels que \(n+5\) soit un multiple de \(7\) , on résout alors dans  \(\mathbb{Z}\) l'équation  \(7k-5 \geqslant 0\)  :
\(\begin{align*}7k-5 \geqslant 0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7k \geqslant 5\ \ \Longleftrightarrow \ \ k \geqslant \frac{5}{7} \approx 0,7\ \ \Longleftrightarrow \ \ k \in \mathbb{N}^\ast\end{align*}\)
car  \(k\)  est un entier. On en déduit que les entiers naturels  \(n\) tels que \(n+5\) soit un multiple de  \(7\) sont les entiers de la forme \(n=7k-5\) avec \(k \in \mathbb{N}^\ast\) .